全垒打王的数学惊喜︰714和715有甚幺特别?

leixue 申博食药 2020-01-06 阅读(503) 评论(28)

前几天,在好友沈俊严教授的脸书看到了一件有趣的事情,关于全垒打和数学。追查下去,发现故事实在太有趣了,不能不赶紧写下分享给各位读者。

1974年4月8号(45年前的今天),美国职棒大联盟明星球员汉克阿伦(Henry Aaron)击出个人生涯第715只全垒打,打破了将近40年无人能破的纪录,这项纪录正是棒球名人堂元老级的超级巨星贝比鲁斯(Babe Ruth)所创下的生涯714只全垒打。

由于贝比鲁斯设下的障碍在美国人心中根本是神级的,在他1935年退休那天,生涯全垒打数排行榜上最接近他的只有353个,还不到贝比鲁斯的一半!因此,有人能够挑战这个障碍,在当时无疑是个最热门的话题。只要汉克阿伦一站上打击区,可以想见那个画面,全美国4亿只眼睛紧盯,不想错过这历史性的一刻。这景况大概就像是那时王建民挑战大联盟单季20胜,全台热血沸腾看实况转播那样吧。破纪录那一刻开始,几乎全美国都在说这两个数字「714 vs 715」。

全部的人都疯狂时,数学家也不会例外。

在举国狂欢的当时,卡尔.帕梅朗斯(Carl Pomerance)是乔治亚大学的数学教授,专长是数论。他好奇大家嘴巴讲不停的这两个数字是否存在什幺特性?他本能地先将两个数字做质因数分解,发现一个有趣的性质:

刚好是连续7个最小的质数相乘。如果把 Pk 定为连续k个最小的质数相乘,不禁让人好奇,Pk 刚好等于连续两个整数相乘的情况是不是不太寻常呢?

后来,他们把问题丢给电脑计算,结果发现,在 k < 3050 的所有情况下,只有下列5种例子:

换句话说,如果下一个例子存在的话,那会非常大,这两个连续数字至少要大于106021。

这个数字有多大,一般人可能没有办法想像。打个比方好了,根据EMC数位世界研究报告,预计2020年全球数位资讯总量会达到2013年4.4ZB的10倍,44ZB大约是1021 bits(你现在家里电脑硬碟单位顶多是TB,1TB了不起是1012 bits而已)。也就是说,即使之后每年全球资讯量成长十倍,要达到106021也还需要再6000年。

目前这个猜想仍未能解答,有兴趣的读者可以试试看去证明它。由于上述神奇的案例绝无仅有,几乎也同时宣告这条研究路线划下了句点。

全垒打王的数学惊喜︰714和715有甚幺特别? 图片来源:Youtube影片截图
帕梅朗斯教授在2017年为Youtube频道Numberphile录製影片的截图

话说回头,在帕梅朗斯发现趣味的隔一天,他随口问了一位正要去上课的同事:「欸~你知道714和715有什幺有趣的性质吗?」

他的同事就在课堂上问了同样的问题,结果有位名叫杰瑞米.乔丹(Jeremy Jordan)的大学生,发现了不同的意外惊喜。乔丹注意到714和715有相同的质因数和,意即:

后来,把这样的两个连续整数称为「鲁斯-阿伦数对」(Ruth-Aaron pair)。

全垒打王的数学惊喜︰714和715有甚幺特别? 图片来源:作者提供

鲁斯-阿伦数对(如果允许质数重複出现)的前面几项是:

意料之外的惊喜

一个大学生意料之外的小观察,没想到竟引起了兴趣。帕梅朗斯、尼尔森(Carol Nelson)和潘奈(David Penney)3个人后来将这些有趣的观察,写成了论文,投稿到一个趣味数学期刊(Journal of Recreational Mathematics)。帕梅朗斯本人表示,当时是以玩笑的心态投稿,单纯好玩而已。只是,他从没想到,这篇论文却是影响他整个数学生涯的起点。

论文中提出了一项猜测,他们认为鲁斯-阿伦数对应该很稀有。用数学的语言就是:

过没多久,帕梅朗斯收到了一封读者写来的信。这封信出自一位传奇数学家艾狄胥(Paul Erdős)之手。艾狄胥在信中表示,可以证明鲁斯-阿伦数对在正整数中的密度为零这件事,希望去他的学校跟他见面,聊一聊数学。

「我觉得太疯狂了。当时我只是一个年轻数学菜鸟,写了篇玩笑性质的文章,然后收到堪称上个世纪最伟大的数学家之一的艾狄胥教授的信,说要见面讨论数学。」

后来,他们就见了面,也很快就写了论文,发表在数学期刊上。这次会面,对帕梅朗斯的学术生涯造成了极大的影响,他的研究从此受到艾狄胥启发,一直到1996年艾狄胥过世为止,两人合作的论文数高达20篇。

帕梅朗斯2017年还拍了一段影片,专门讲这段关于棒球、数论和意外惊喜的有趣往事。

先别急着关电脑,故事还没结束。影片的最后提到,在1995年的时候,位于亚特兰大的埃默里大学将颁发荣誉学位给艾狄胥,帕梅朗斯受艾狄胥之邀,前往观礼顺便叙旧。到了现场之后,意料之外的是,谁也没想到,造成他和艾狄胥俩人相识的契机──大联盟巨星汉克阿伦,也同时获邀颁发荣誉学位。他简直不敢相信这个事情。于是把握时机上前攀谈,向汉克阿伦说了这段往事。

阿伦听了则是以为他遇到了疯子。

全垒打王的数学惊喜︰714和715有甚幺特别? 图片来源:Youtube 影片截图
Numberphile影片中的截图

帕梅朗斯当然也不忘趁机介绍艾狄胥和汉克阿伦认识,他们坐下来谈了一会儿,并留下了合影。有趣的是,帕梅朗斯做出一般球迷会做的要求,他让汉克阿伦签名在一颗棒球上,同时,艾狄胥也在上面签了名字。帕梅朗斯笑着说︰「汉克阿伦的艾狄胥数也是1,虽然他们没有合作发表论文,但是他们合作在棒球上签了名字。」

全垒打王的数学惊喜︰714和715有甚幺特别? 图片来源:Youtube 影片截图
Numberphile影片中的截图

帕梅朗斯一直收藏着这颗意义重大的棒球。只是,由于签名的笔迹退色了,他俩的签名字迹都已经消失无法用肉眼瞧见。

全垒打王的数学惊喜︰714和715有甚幺特别? 图片来源:Youtube 影片截图
Numberphile 影片中的截图

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